乘积同余游戏：RSA（φ-MuM）与AES（poly-MuM）的统一无偏博弈框架

RSA指数约简和AES S盒求逆隐藏着一个共同点：两者都受同一无偏组合原则支配，我们称之为乘积同余游戏（PCG）。乘积同余游戏通过堆值的模乘或有限域乘积来跟踪游戏过程，提供了一个统一这两种无处不在的对称和非对称密码系统代数核心的单一不变量。

我们通过两个配套游戏实例化这一框架。首先，φ-MuM，其中左关联的“多秘密”RSA指数链压缩为乘法模Nim游戏PCG(φ)，模数φ。然后，输局谓词通过中国剩余定理分解，反映了RSA的结构。其次，poly-MuM，我们针对有限域求逆（如AES S盒）的模型。对于poly-MuM，我们证明了其阈值区域内的单洞性质，这意味着在该区域内，Sprague-Grundy值在析取和下是乘性的。

除了这些实例，我们为一般乘积同余游戏PCG(φ)建立了四个结构定理：（i）模数以上的单堆修复，（ii）每坐标的最终周期，（iii）精确和渐近的输局密度，以及（iv）将最优游戏限制在有限的不确定区域。操作对齐崩溃原理解释了为什么某些变体退化为单一聚合，而MuM、φ-MuM和poly-MuM保留了丰富的局部结构。

所有要素（乘法阶、中国剩余定理、有限域）都是经典的；贡献在于统一的聚合-压缩视角，将RSA和AES嵌入一个无偏博弈框架，以及结构定理和崩溃定理。

评论： 12页，1表

主题： 离散数学（cs.DM）；密码学与安全（cs.CR）；信息论（cs.IT）

MSC分类： 91A46（主要），11A07，94A60，05A99

ACM分类： G.2.1；E.3

引用为： arXiv:2507.20087 [cs.DM]（或此版本的arXiv:2507.20087v1 [cs.DM]）

DOI： https://doi.org/10.48550/arXiv.2507.20087

提交历史： 来自Satyam Tyagi [查看邮箱] [v1] 2025年7月27日星期日00:29:13 UTC（14 KB）