分布式Q学习的有限时间分析

摘要

多智能体强化学习（MARL）近年来受到广泛关注，这主要得益于单智能体强化学习（RL）在实际应用中的成功。本研究探讨了分布式Q学习场景，其中多个智能体协作解决顺序决策问题，且无法访问中心奖励函数（该函数是局部奖励的平均值）。特别地，我们分析了分布式Q学习算法的有限时间性能，并提出了新的样本复杂度结果：在表格查找设置下，达到$\tilde{\mathcal{O}}\left( \min\left{\frac{1}{\epsilon^2}\frac{t_{\text{mix}}}{(1-\gamma)^6 d_{\min}^4 } ,\frac{1}{\epsilon}\frac{\sqrt{|\gS||\gA|}}{(1-\sigma_2(\boldsymbol{W}))(1-\gamma)^4 d_{\min}^3} \right}\right)$的复杂度界限。

关键词

多智能体强化学习，分布式Q学习，有限时间分析，样本复杂度，表格查找

1. 引言

随着单智能体强化学习在诸多领域取得显著成果，多智能体强化学习也逐渐成为研究热点。分布式Q学习作为一种协作式学习方法，允许多个智能体在无法直接获取全局奖励函数的情况下，通过局部交互共同解决决策问题。本文旨在提供该算法的有限时间分析，并推导出更紧的样本复杂度界限。

2. 方法

2.1 问题设置

考虑一个多智能体系统，其中每个智能体观察局部奖励，并通过分布式方式更新Q值函数。全局奖励函数定义为所有局部奖励的平均值，但智能体无法直接访问该全局信息。

2.2 分布式Q学习算法

本文研究的分布式Q学习算法基于表格查找方法，每个智能体维护自己的Q值表，并通过邻域通信交换信息。算法利用混合时间$t_{\text{mix}}$和折扣因子$\gamma$等参数，确保在有限时间内收敛。

2.3 有限时间分析

通过严格的理论推导，我们证明了算法在有限时间内的收敛性，并给出了样本复杂度的显式表达式。该复杂度依赖于状态空间大小$|\gS|$、动作空间大小$|\gA|$、混合时间$t_{\text{mix}}$、折扣因子$\gamma$以及通信矩阵$\boldsymbol{W}$的第二大特征值$\sigma_2(\boldsymbol{W})$。

3. 主要结果

本文的主要贡献是提出了分布式Q学习算法的有限时间样本复杂度界限： [ \tilde{\mathcal{O}}\left( \min\left{\frac{1}{\epsilon^2}\frac{t_{\text{mix}}}{(1-\gamma)^6 d_{\min}^4 } ,\frac{1}{\epsilon}\frac{\sqrt{|\gS||\gA|}}{(1-\sigma_2(\boldsymbol{W}))(1-\gamma)^4 d_{\min}^3} \right}\right) ] 这一结果改进了现有工作的界限，并为实际应用提供了理论指导。

4. 结论

本文对分布式Q学习算法进行了系统的有限时间分析，推导出了更紧的样本复杂度界限。这一工作不仅增强了我们对多智能体强化学习理论的理解，也为未来算法设计提供了重要参考。

参考文献

[1] 相关多智能体强化学习文献
[2] 分布式优化理论
[3] Q学习收敛性分析