计算原理

问题定义

考虑一个包含 $L$ 层的全卷积网络（FCN），定义特征图 $f_l \in \mathbb{R}^{h_l \times w_l \times d_l}$ 表示第 $l$ 层的输出，其中 $h_l$、$w_l$ 和 $d_l$ 分别表示高度、宽度和深度。输入图像记为 $f_0$，最终输出特征图对应 $f_L$。

每层 $l$ 的空间配置由四个参数定义：

• $k_l$：卷积核尺寸（正整数）
• $s_l$：步长（正整数）
• $p_l$：输入特征图左侧填充量（非负整数）
• $q_l$：输入特征图右侧填充量（非负整数）

单路径网络计算

感受野大小计算

定义 $r_l$ 为最终输出特征图 $f_L$ 相对于特征图 $f_l$ 的感受野大小。通过递推关系可得：

$$r_{l-1} = s_l \cdot r_l + (k_l - s_l)$$

闭合形式解为：

$$r_0 = \sum_{l=1}^{L} \left( (k_l - 1) \prod_{i=1}^{l-1} s_i \right) + 1$$

感受野区域定位

对于输出特征 $f_L(i,j)$，需要定位其在输入图像中的感受野区域。定义 $u_l$ 和 $v_l$ 分别为感受野区域在 $f_l$ 中的左右边界坐标（零索引）。

递推关系为： $$\begin{aligned} u_{l-1} &= -p_l + u_l \cdot s_l \ v_{l-1} &= -p_l + v_l \cdot s_l + k_l - 1 \end{aligned}$$

闭合形式解为： $$\begin{aligned} u_0 &= u_L \prod_{i=1}^{L} s_i - \sum_{l=1}^{L} p_l \prod_{i=1}^{l-1} s_i \ v_0 &= v_L \prod_{i=1}^{L} s_i - \sum_{l=1}^{L} (1 + p_l - k_l) \prod_{i=1}^{l-1} s_i \end{aligned}$$

有效步长与有效填充

定义有效步长 $S_l = \prod_{i=l+1}^{L} s_i$ 和有效填充 $P_l = \sum_{m=l+1}^{L} p_m \prod_{i=l+1}^{m-1} s_i$，可简化为：

$$u_0 = -P_0 + u_L \cdot S_0$$

感受野中心点坐标为：

$$c_0 = u_L \cdot S_0 - \sum_{l=1}^{L} \left( p_l - \frac{k_l - 1}{2} \right) \prod_{i=1}^{l-1} s_i$$

多路径网络计算

现代网络架构（如ResNet、Inception）包含多路径计算图，需要特殊处理对齐问题。算法复杂度为 $O(|E| + |L|)$，通过拓扑排序和动态更新实现高效计算。

对齐条件要求所有路径满足： $$\begin{aligned} S_l^{(i)} &= S_l^{(j)} \ -P_l^{(i)} + \left( r_l^{(i)} - \frac{1}{2} \right) &= -P_l^{(j)} + \left( r_l^{(j)} - \frac{1}{2} \right) \end{aligned}$$

现代网络感受野分析

通过开源库计算典型架构的感受野参数：

分析表明：

1. 网络演进过程中感受野持续增大，最新网络可覆盖整个输入图像
2. 分类精度与感受野大小呈对数关系，大感受野对高级识别任务必要但收益递减
3. MobileNet等高效架构能以较小计算代价获得大感受野

特殊操作处理

• 空洞卷积：将核尺寸替换为 $\alpha(k-1)+1$
• 上采样：视为局部操作，核尺寸等于参与计算的输入特征数
• 可分离卷积：感受野特性与等效普通卷积相同
• 批归一化：推理时不改变感受野，训练时感受野为整个输入图像

开源实现

提供与TensorFlow集成的开源库，支持自动计算各种模型的感受野参数，避免手动计算错误。