摘要
传统机器学习模型（尤其是神经网络）基于有限维参数空间和非线性函数逼近。本报告提出了一种替代框架：在无限维希尔伯特空间中通过采样和计算实现学习任务，结合了再生核希尔伯特空间（RKHS）、谱算子学习和小波域表示等理论工具。报告系统阐述了希尔伯特空间学习的数学形式化方法，分析了基于散射变换和Koopman算子的新型模型，并与传统神经架构进行了优劣势对比，最终展望了可扩展、可解释的希尔伯特信号处理机器学习发展方向。
核心内容
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理论基础
- 引入再生核希尔伯特空间（RKHS）作为函数逼近的数学基础
- 采用谱算子理论实现高维特征空间的线性分解
- 利用小波变换构建多尺度信号表示框架
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技术架构
- 散射变换网络：通过级联小波变换与模运算构建几何稳定的特征表示
- Koopman算子方法：将非线性动力学系统映射到无限维线性空间
- 谱学习算法：在频率域实现参数的高效优化
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优势分析
- 数学可解释性：严格的功能分析理论支撑
- 维度无关性：适用于非欧几里得数据结构
- 物理一致性：与经典信号处理理论天然兼容
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应用挑战
- 计算复杂度：无限维空间的实际采样策略
- 实现门槛：需要较强的泛函分析数学基础
- 硬件适配：现有计算架构的优化需求
研究展望
- 开发面向边缘设备的轻量化谱学习算法
- 探索量子计算与希尔伯特空间学习的结合路径
- 建立与传统深度学习模型的混合架构理论