时间序列数据的回归分析：模型与应用

全球大数据和商业分析市场预计到2032年将增长至9610亿美元，其中大部分是分析软件，大多数支持时间序列回归分析。这种分析方法在各个业务领域被广泛使用，对大多数形式的规划、预测、监控和建模都很有帮助。

什么是时间序列数据回归分析？

时间序列数据回归分析是一种统计方法，用于模拟因变量与一个或多个自变量随时间变化的关系。

简单来说，时间序列回归分析帮助您理解某个事物如何随时间变化并响应其他因素。例如，它可以显示销售额如何依赖于广告支出、季节时间或经济趋势，同时考虑季节性或先前时间点的动量等模式。

为了形成完整认识，让我们比较时间序列回归分析与标准回归分析：

标准回归是一种统计方法，用于检查因变量与一个或多个自变量之间的关系，假设数据点是独立且同分布的。

标准回归不考虑基于时间的模式，如趋势、季节性、自相关等。这使得这种分析方法适用于横截面或非时间数据。

这两种统计方法的详细比较如下表所示：

时间序列数据回归分析的工作原理

如果您使用研究分析工具如Python库、Stata、IBM SPSS Statistics等，您不一定需要深入了解过程的技术细节。或者，专门的机器学习和数据科学团队可以设置模型，这也不需要内部了解回归分析的核心工作原理。

然而，了解它如何应用于业务以及业务项目中的数据如何从一系列数字转化为洞察是更有价值的信息。以下通过6个步骤解释：

步骤1：定义问题和目标

清晰陈述您想要实现的目标。您是在预测未来销售、预测需求还是分析经济趋势？通过定义以下内容来找出答案：

• 目标变量（如每日销售额）
• 自变量（如营销支出、星期几）
• 预测范围（如未来30天）
• 依赖此分析的业务影响或决策

步骤2：准备和探索时间戳数据

根据垃圾进垃圾出（GIGO）规则，分析的准确性很大程度上取决于用于分析的数据质量。为确保最佳结果，请执行以下操作：

• 处理缺失数据：根据业务背景填充、插值或删除
• 调整粒度：将数据对齐到一致频率（如每日、每周）
• 创建滞后特征：包括目标或预测变量的过去值（如1天前的销售额）
• 探索趋势和季节性：可视化检查、分解和绘图是关键
• 必要时应用特征工程：基于时间的特征，如星期几、月份和节假日

步骤3：选择适当的回归模型

基于数据和对研究的初步假设，选择模型：

• 简单线性回归（带时间或滞后）
• 自回归模型（AR）或ARIMAX/ADL（带外生变量的自回归）
• 如果存在季节性则使用季节性模型
• 用于高维时间特征的正则化回归（Ridge、Lasso）

步骤4：训练模型、解释结果、检验假设

拟合模型并确保满足关键假设：

• 变量间的线性关系
• 无自相关残差（使用Durbin-Watson检验）
• 同方差性（误差的恒定方差）
• 如果需要推断，则要求残差的正态性

重要提示： 简单的回归分析可以使用上述和下面列出的模型以半自动模式完成。然而，复杂、全自动的使用机器学习和数据管道的回归分析应仅由合格的机器学习和数据工程师设置。

步骤5：使用时间感知技术进行验证

由于时间依赖性，传统的交叉验证将不起作用。这就是为什么当涉及时间序列回归分析时，建议执行以下操作：

• 使用前向验证、扩展/滚动窗口或时间序列交叉验证
• 使用反映随时间预测准确性的指标（如MAE、RMSE或MAPE）进行评估
• 与朴素模型（如最后值前推）比较以证明价值

步骤6：集成到业务管道或决策支持系统中

最后，有必要使时间序列回归模型适用于您的业务用例。这是机器学习工程师在此阶段要做的事情：

• 在仪表板、预测工具或自动化系统中部署
• 安排定期数据刷新和重新训练
• 基于预测值构建警报或决策触发器
• 随时间监控模型漂移和性能

时间序列分析的核心回归模型

虽然时间序列回归分析的模型很多，但让我们关注最常用的五种。很可能，您不必自己将公式实际应用于数据集，因为研究分析工具是半自动的，而用于这些目的的机器学习解决方案是自动化的。尽管如此，了解您的业务数据可能通过哪些模型的原理可能会有所帮助。

1. 线性回归

是什么： 一个基本模型，假设一个因变量与一个或多个自变量随时间存在线性关系。

工作原理： 估计最小化实际值和预测值之间平方差的系数。时间通常作为变量包含，但不直接建模自相关和时间结构。

公式： Yₜ = β₀ + β₁Xₜ + εₜ

使用场景： 短期预测、基线模型、趋势估计和业务指标跟踪，其中关系稳定且简单。

2. 多项式回归

是什么： 线性回归的扩展，使用自变量的幂建模非线性关系。

工作原理： 将输入变量转换为高次多项式以捕获数据中的曲线。当趋势随时间非线性时很有用。

公式： Yₜ = β₀ + β₁Xₜ + β₂Xₜ² + … + βₙXₜⁿ + εₜ

使用场景： 建模曲线趋势，如经济增长后衰退或饱和、人口建模和市场生命周期曲线。

3. 多元（多重）回归

是什么： 一种回归，模拟单个时间相关结果与多个自变量之间的关系。

工作原理： 同时包含多个预测变量（如价格、季节、天气）。除非扩展以适应时间结构，否则假设观测值之间独立。

公式： Yₜ = β₀ + β₁X₁ₜ + β₂X₂ₜ + … + βₖXₖₜ + εₜ

使用场景： 需求预测、零售销售分析、能源消耗建模和广告影响研究。

4. 自回归分布滞后（ADL）模型

是什么： 一种结合因变量的过去值（自回归项）与解释变量的当前和滞后值（分布滞后）的模型。

工作原理： 在一个框架中捕获内部动量（如Y依赖于过去的Y）和外部效应（如X在几个时间滞差值）。

公式： Yₜ = α + φ₁Yₜ₋₁ + φ₂Yₜ₋₂ + … + φₚYₜ₋ₚ + β₀Xₜ + β₁Xₜ₋₁ + … + β_qXₜ₋_q + εₜ

使用场景： 宏观经济建模、能源需求预测、金融以及任何预期存在滞后交互的领域。

5. 带外生变量的ARIMA（ARIMAX）

是什么： 一个ARIMA模型，扩展了外部回归量（外生变量），这些变量与自回归和移动平均项一起影响预测。

技术工作原理： 整合三个组成部分，自回归（AR）、差分平稳性（I）和移动平均（MA），加上外部输入（X变量）。当内部动态和外部驱动因素都很重要时很有用。

公式： Yₜ = φ(L)(1 – L)ᵈYₜ + θ(L)εₜ + βXₜ

使用场景： 带促销的销售预测、带利率的经济预测、受天气影响的负荷预测和金融建模。

5种解释和验证时间序列回归结果的策略

事不宜迟，以下是经过验证的技巧和策略，将帮助您获得更好的回归分析结果。或者，使用这些建议来验证机器学习工程师制作自定义回归模型的结果：

1. 检查随时间变化的残差

绘制残差图以查看误差是否随机分布。模式可能表示缺失变量或模型设定错误。这就是为什么必须使用残差的ACF图来检测自相关。

2. 比较预测准确性

使用时间感知指标，如MAE、RMSE或MAPE。以朴素模型（如上期值）为基准。持续更好的性能验证了模型的有用性。

3. 评估系数稳定性

在滚动窗口或重新训练的模型中检查符号和显著性。不一致的系数可能表明过拟合或非平稳效应。稳定性意味着可靠的长期关系。

4. 监控样本外性能

按时间顺序拆分数据并在未来期间测试。前向验证揭示了模型如何处理真实预测条件。泛化能力差表明需要改进。

5. 使结果与业务背景一致

根据已知周期、事件或政策解释发现。与领域专家验证以确保洞察是现实的。如果结果与预期相矛盾，重新评估假设或特征。

最终结论

时间序列回归有助于揭示变量如何随时间演变，考虑趋势、季节性和滞后关系。线性、多项式、ADL或ARIMAX等模型在时间重要的领域（如库存规划、促销或经济分析）实现准确预测。可靠的结果取决于准备良好的数据、时间感知验证和模型稳定性，使这种方法成为处理时间数据的企业实用选择。