流形噪声数据局部几何结构估计

摘要

数据驱动应用中的一个常见观察是，高维数据具有低内在维度，至少局部如此。本研究考虑流形值数据的点估计问题：给定流形 (M)（(R^D) 中的 (d) 维子流形）的噪声样本有限集，以及靠近流形的点 (r)，我们的目标是将 (r) 投影到流形上。

假设数据是从无边界紧致 (k) 次光滑流形的管状邻域中均匀采样，我们提出一种算法：输入该邻域中的点 (r)，输出 (p^n \in R^D) 和 (T_{p^n}\hat{M})（Grassmannian流形 (Gr(d,D)) 中的一个元素）。我们证明当样本数量 (n \to \infty) 时，点 (p^n) 以高概率收敛到 (r) 在 (M) 上的投影点 (p)，且 (T_{p^n}\hat{M}) 收敛到 (T_pM)（该点处的切空间）。

进一步表明，(p^n) 以 (n^{-\frac{k}{2k+d}}) 的渐近速率逼近流形，而 (p^n) 和 (T_{p^n}\hat{M}) 分别以 (n^{-\frac{k-1}{2k+d}}) 的速率逼近 (p) 和 (T_pM)。这些速率与函数导数估计的最优速率一致。

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