傅里叶神经算子的有效场论分析

傅里叶神经算子（FNOs）已成为高维偏微分方程的主要替代模型，但其稳定性、泛化能力和频率行为缺乏原理性解释。本文首次在无限维函数空间中对FNOs进行系统性的有效场论分析，推导出层核和四顶点的闭合递推关系，并研究三种实际重要场景：解析激活函数、尺度不变情况以及带残差连接的架构。

理论分析表明，非线性激活函数不可避免地会将频率输入耦合到高频模式（这些模式在谱截断中通常被丢弃），实验证实了这种频率转移现象。对于宽网络，通过权重初始化集合的临界性条件，使得小输入扰动在深度上保持均匀尺度，实证测试验证了这些预测。

综合来看，本研究结果量化了非线性如何使神经算子捕获非平凡特征，通过临界性分析为超参数选择提供标准，并解释了为何尺度不变激活函数和残差连接能增强FNOs中的特征学习。

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学科分类：机器学习（cs.LG）；人工智能（cs.AI）
引用信息：arXiv:2507.21833 [cs.LG]
提交历史：2025年7月29日提交