PVD-ONet：面向奇异扰动边界层问题的多尺度神经算子方法

摘要

物理信息神经网络（PINN）和物理信息DeepONet在求解偏微分方程方面表现卓越，但在处理奇异扰动问题时往往难以收敛。为此，提出两种新颖框架：Prandtl-Van Dyke神经网络（PVD-Net）及其算子学习扩展Prandtl-Van Dyke深度算子网络（PVD-ONet），这些方法仅依赖控制方程而无需数据。为满足不同任务需求，PVD-Net和PVD-ONet均开发了两种版本：专注于稳定性的模型和面向高精度建模的模型。

领先阶PVD-Net采用双网络架构结合Prandtl匹配条件，针对稳定性优先场景设计。高阶PVD-Net采用五网络架构配合Van Dyke匹配原理，可捕捉精细边界层结构，适用于高精度场景。PVD-ONet通过集成多个DeepONet模块将PVD-Net推广至算子学习场景，能够直接将初始条件映射到解算子，无需重新训练即可对 entire 边界层问题族进行即时预测。

多种模型的数值实验表明，所提方法在各类误差指标上持续超越现有基线，为多尺度问题提供了强大的新解决方案。

技术特性

• 双版本架构：稳定优先版采用双网络+Prandtl匹配，高精度版采用五网络+Van Dyke匹配
• 无数据依赖：仅基于控制方程实现训练
• 算子学习扩展：通过DeepONet模块实现从初始条件到解算子的直接映射
• 即时预测能力：训练后可对整个问题族进行快速推理

实验验证

在多个模型上的测试表明，该方法在L2误差、相对误差和边界层分辨率等指标上均优于传统物理信息神经网络方法，显著提升了奇异扰动问题的计算精度和稳定性。

论文原文：arXiv:2507.21437 [cs.LG]