摘要

虽然许多机器学习方法已在黎曼流形上开发或转用以处理已知非欧几里得几何的数据，但此类空间上的最优传输（OT）方法尚未获得足够关注。这些空间中的主要OT工具是Wasserstein距离，但其计算负担较重。在欧几里得空间中，一种流行替代方案是切片Wasserstein距离，它利用一维Wasserstein距离的闭式解，但该解在流形上不易获得。本研究推导了在Cartan-Hadamard流形（具有非正曲率的黎曼流形，包括双曲空间和对称正定矩阵空间等）上构建切片Wasserstein距离的通用方法。随后提出不同应用，如在流形上通过适当学习基础成本进行文档分类，以及在乘积流形上进行数据集比较。此外，还推导了通过近似Wasserstein梯度流来最小化这些新距离的非参数化方案。

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