物理约束机器学习在科学计算中的应用

深度学习模型在科学计算中展现出巨大潜力，特别是在偏微分方程（PDE）求解方面。然而，传统数据驱动模型常违反物理守恒定律和边界条件，即使训练数据完全合规。在ICML和ICLR会议上发表的两篇论文提出了创新解决方案。

守恒定律约束

论文《Learning physical models that can respect conservation laws》提出ProbConserv框架，通过积分形式而非微分形式表达守恒定律。该方法：

• 使用概率机器学习模型（高斯过程、注意力神经过程等）估计物理模型输出的均值和方差
• 基于贝叶斯更新确保解分布精确满足守恒约束
• 在广义多孔介质方程（GPME）测试中，对含激波的困难问题显著优于其他方法

质量守恒验证显示ProbConserv严格保持守恒特性

边界条件约束

论文《Guiding continuous operator learning through physics-based boundary constraints》提出边界强制算子网络（BOON）：

• 基于傅里叶神经算子（FNO）构建
• 通过结构修正确保满足Dirichlet、Neumann和周期性边界条件
• 在热方程、波动方程、Burgers方程和2-D不可压缩Navier-Stokes方程测试中实现2-20倍性能提升

BOON修正傅里叶神经算子在绝缘边界处的非物理通量

实际应用价值

这两种方法：

• 保证物理约束的严格满足
• 保持概率不确定性量化能力
• 显著提升激波传播预测精度
• 已开源代码供科研社区使用

相关工作在2023年AAAI科学发现计算方法研讨会上展示，为物理系统建模提供了可靠的机器学习解决方案。