物理约束机器学习在科学计算中的应用

研究背景

深度学习模型在科学计算中展现出了求解偏微分方程的巨大潜力，但这些模型常常违反基本的物理原理，如守恒定律和边界条件。在两篇分别被ICML和ICLR会议接受的论文中，研究人员探讨了如何将已知的物理约束整合到机器学习模型中。

守恒定律约束方法

ProbConserv框架

传统科学机器学习方法通常将物理约束作为损失函数中的软约束，但这无法保证守恒律的严格满足。ProbConserv框架通过以下方式解决这一问题：

• 将守恒定律从微分形式转换为积分形式
• 借鉴有限体积法思想，将空间域离散化为控制体积
• 在每个控制体积上局部执行守恒定律，从而保证全局守恒

该方法使用概率机器学习模型（如高斯过程、注意力神经过程或神经网络集成）估计物理模型输出的均值和方差，然后利用守恒定律的积分形式对解分布进行贝叶斯更新。

应用案例

在广义多孔介质方程上的测试表明：

• 对于简单问题，ProbConserv与最先进方法表现相当
• 对于具有激波的非线性问题，ProbConserv显著优于不保证体积守恒的ML方法
• 能够有效处理异方差性和激波传播估计问题

边界条件约束方法

BOON模型

边界条件约束神经网络算子方法通过结构修正确保神经网络算子预测的解满足系统边界条件。核心特点包括：

• 基于傅里叶神经算子等核基神经网络算子
• 支持狄利克雷、诺伊曼和周期性边界条件
• 在热方程、波动方程、Burgers方程和2维不可压缩Navier-Stokes方程上验证

性能提升

BOON修正方法相比原始神经算子模型在相对L2误差上实现了2倍到20倍的改进，同时在边界处实现零误差，并提高了域内解的精度。

技术贡献

• 发布了两种方法的代码实现（守恒定律 | 边界约束）
• 在AAAI科学发现计算方法研讨会上报告了相关工作
• 为物理系统建模的科研人员提供了实用的工具和方法

这些物理约束机器学习方法为解决科学计算中的挑战性问题提供了新的技术途径，特别是在保证物理一致性的同时提升了预测性能。